Задача 66085

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Точка O – центр описанной окружности Ω остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность ω треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B.

Решение

  Пусть  ∠B = β.  Тогда  ∠AOC = 2β.

Первый способ.  ∠AEC = ∠AOC = 2β,  ∠ECB = ∠AEC – ∠B = β,  то есть треугольник CEB – равнобедренный. Аналогично треугольник ABF – равнобедренный.
  Следовательно,  AB = 2BF cos β  и  BC = 2BE cos β.  Перемножив, получим  AB·BC = 4BE·BF cos²β. По условию  4cos²β = ^AB·BC/_BE·BF = ^S_ABC/_SBEF = 2.  Так как  2β < 180°,  то  

  Второй способ. Заметим, что  ∠BEO = ∠OCA = 90° – β,  так как четырёхугольник AEOC – вписанный, а треугольник AOC – равнобедренный. Значит, прямая EO – высота треугольника BEС. Аналогично FO – высота треугольника AFB. Так как O – центр окружности Ω, то прямые EO и FO делят стороны AB и СB соответственно пополам. Пусть M и N – середины AB и BС, тогда треугольник BMN подобен BFE с коэффициентом подобия cos β. С другой стороны, этот коэффициент равен    так как  S_BFE = ½ S_ABС ,  а  S_BMN = ¼ S_ABС.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	80
Год	2017
класс
Класс	10
задача
Номер	3