Задача 66097

Темы:    [ Перпендикулярные прямые ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Косухин О.Н.

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что  BD = CD,  ∠BDC = 120°.  Вне треугольника ABC взята такая точка E, что  AE = CE,  ∠AEC = 60°  и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что  ∠AFD = 90°,  где F – середина отрезка BE.

Решение

  Без ограничения общности будем считать, что вершины A, B, C треугольника ABC расположены в указанном порядке по часовой стрелке (см. рис.)

  Обозначим через K и L середины отрезков BC и CE соответственно. По теореме о средней линии треугольника     Рассмотрим на множестве векторов следующее преобразование Ф: поворот на 90° против часовой стрелки, а затем умножение на    Тогда     Следовательно,     Значит, векторы    и    перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	80
Год	2017
класс
Класс	11
задача
Номер	4