|
|
 |
Условие
Таблица размером 2017×2017 заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число p, а оставшееся число на p не делится. Найдите все возможные значения p.
Решение
Занумеруем строки (снизу вверх) и столбцы (справа налево) числами от 0 до 2016, а через ai,j обозначим цифру, стоящую на пересечении i-й строки и j-го столбца. При такой нумерации строк и столбцов цифры рассматриваемых чисел, стоящие в младших разрядах, имеют меньший номер строки (столбца).
Если через vi обозначить число, записываемое цифрами i-й строки, а через wj – число, записываемое цифрами j-го столбца, то
Покажем, что описанная в условии задачи ситуация возможна для p = 2 и p = 5. Пусть, например, ai,j = 1 при всех i, j ≥ 1 (эти цифры можно выбрать и любыми другими), a0,2016 = 1, а остальные цифры равны p. Тогда все числа, читаемые по строкам и столбцам, кроме w2016, заканчиваются на p и, как следствие, делятся на p, а w2016 заканчивается на 1 и поэтому на p не делится.
Аналогично
Если все числа vi, wj (i, j = 0, 1, 2, ..., 2016), кроме одного, делятся на p, а оставшееся на p не делится, то в одной из двух последних сумм все слагаемые делятся на p (значит, S делится на p), а в другой сумме все слагаемые, кроме одного, делятся на p, а оставшееся, в силу взаимной простоты p и степеней десятки, на p не делится. Противоречие.
Ответ
2 и 5.
