Задача 66101

Темы:    [ Биссектриса угла ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из вершины A остроугольного треугольника ABC по биссектрисе угла A выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны BC по закону "угол падения равен углу отражения" и дальше катился по прямой, уже ни от чего не отражаясь. Докажите, что если  ∠A = 60°,  то траектория шарика проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Отразим относительно BC центр O описанной окружности Ω треугольника ABC. Получим точку O'. Так как
∠BO'C = ∠BOC = 2∠A = 120° = 180° – ∠A,  то O' лежит на Ω. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к BC, то O' – середина дуги BC. Значит, биссектриса угла A проходит через O'. Это и значит, что после отражения шарик пройдёт через точку O.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	38
Дата	2016/17
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3