Задача 66103

Темы:    [ Невыпуклые многоугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?
б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

Решение

  Наличие общей точки у всех построенных окружностей равносильно существованию точки, из которой каждая сторона многоугольника видна под прямым углом.

  а) См. рис.

  б) Пусть нашлась требуемая точка O для многоугольника A₁...A₁₁. Как показано выше,  OA₁ ⊥ OA₂ ⊥ ... ⊥ OA₁₁ ⊥ OA₁.  Следовательно,
OA₁ || OA₃ || ... || OA₁₁ || OA₂.  Противоречие.

Ответ

а) Может;  б) не может.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	38
Дата	2016/17
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	5