Задача 66106
|
|
 |
Условие
В каждую клетку квадрата 1000×1000 вписано число так, что в любом не выходящем за пределы квадрата прямоугольнике площади s со сторонами, проходящими по границам клеток, сумма чисел одна и та же. При каких s числа во всех клетках обязательно будут одинаковы?
Решение
Понятно, что при s = 1 числа во всех клетках одинаковы.
Пусть s > 1 и p – простой делитель s. В клетки, сумма координат которых делится на p, впишем единицы, а в остальные клетки – нули. В любом прямоугольнике T площади s одна из сторон делится на p, поэтому он разбивается на s/p полосок длины p. В каждую такую полоску попадает ровно одна единица. Поэтому сумма чисел в T равна s/p, то есть не зависит от выбора прямоугольника.
Ответ
Только при s = 1.
Замечания
5 баллов
