|
|
 |
Условие
Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a1 – сумма исходных чисел, a2 – сумма квадратов исходных чисел, a3 – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
а) Могло ли случиться, что до a5 последовательность убывает (a1 > a2 > a3 > a4 > a5), а начиная с a5 – возрастает (a5 < a6 < a7 < ...)?
б) А могло ли случиться наоборот: до a5 последовательность возрастает, а начиная с a5 – убывает?
Решение
а) Пример 1. Возьмём число 2 и 1024 числа, равных ½. Тогда
an = 2n + 1024·2–n = 32(2n–5 + 25–n). Сумма двух положительных взаимно обратных чисел тем меньше, чем ближе они друг к другу. Поэтому построенная последовательность убывает до n = 5, а потом возрастает.
Пример 2. Возьмём an = 1,02n + 0,5n. Заметим, что an+1 > an ⇔ 0,02·1,02n > 0,5n+1 ⇔ 2,04n > 25 ⇔ n ≥ 5. То есть последовательность убывает до n = 5, а потом возрастает.
б) Предположим, такое случилось.
Первый способ. Тогда an < a5 для любого n. Среди исходных чисел было число x > 1, иначе бы последовательность никогда не возрастала. Заметим, что an > xn для любого n. А последовательность xn не ограничена. Противоречие.
Второй способ. Тогда a4 < a5 и a6 < a5, то есть a4 + a6 < 2a5. Значит, x4 + x6 < 2x5 хотя бы для одного из исходных чисел x. Но это противоречит неравенству Коши.
Ответ
а) Могло; б) не могло.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 4 + 4, 10-11 кл. – 3 + 3.
