|
|
 |
Условие
В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, а также AD = BE = CF. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.
Решение
Поскольку треугольники ABD и EDB равны по трём сторонам, то четырёхугольник ABDE – равнобокая трапеция или прямоугольник. Её ось симметрии – серединный перпендикуляр к основаниям BD и AE. На этом же перпендикуляре лежат и вершины C и F равнобедренных треугольников BCD и AFE. Аналогично прямые AD и BE являются осями симметрии шестиугольника. Все три оси пересекаются в центре O описанной окружности треугольника BDF. Так как биссектрисы всех углов многоугольника пересекаются в одной точке, то его стороны равноудалены от неё.
Замечания
1. Рассмотрим два правильных треугольника с общим центром и попарно параллельными сторонами, расположенными как на рисунке снизу. Последовательно соединим их вершины. Полученный шестиугольник будет удовлетворять условию задачи. Несложно показать, что таким образом можно получить все подходящие под условие шестиугольники.
2. Можно показать, что любой выпуклый многоугольник, у которого через каждую вершину проходит ось симметрии, является описанным.
3. 8 баллов.
