|
|
 |
Условие
Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?
Решение
Заметим, что если две плоскости, содержащие боковые грани пирамиды, перпендикулярны основанию, то и прямая их пересечения перпендикулярна основанию и является высотой пирамиды. Если эти грани соседние, то прямая пересечения содержит их общее ребро. Но каждое ребро принадлежит ровно двум граням, следовательно, больше одной пары соседних граней, перпендикулярных основанию быть не может.
Пусть n чётно. Тогда, если граней перпендикулярных основанию больше n/2, то найдутся или три такие грани, идущие подряд, или две пары таких граней, что невозможно.
Аналогично доказывается, что в случае нечётного n граней перпендикулярных основанию не больше n+1/2.
Примерами могут служить невыпуклые пирамиды, вершина которых проектируется в точку O многоугольников (см. рис.).
Ответ
n/2 при чётном n и n+1/2 при нечётном n.
