|
|
 |
Условие
На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?
Решение 1
На каждом шаге Петя уменьшает произведение чисел на доске на число, которое он пишет на бумажке: xy(z – 1) = xyz – xy, поэтому произведение чисел на доске сложенное с суммой чисел на бумажке не изменяется. Поскольку в конце произведение на доске будет равно 0, сумма на бумажке равна исходному произведению xyz.
Решение 2
Рассмотрим параллелепипед со сторонами x, y, z. На каждом шаге мы отрезаем от него параллелепипед толщины 1, записывая его объём на бумажку. Процесс закончится, когда отрежем всё, и сумма чисел на бумажке будет равна объёму исходного параллелепипеда.
Ответ
Произведению трёх исходных чисел.
Замечания
1. 4 балла.
2. Задача также опубликована в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №1, задача М2027).
