|
|
 |
Условие
Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.
Решение
Пусть K, L, M и N – точки касания сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD с вписанной окружностью, O1, O2, O3 и O4 – середины дуг KL, LM, MN и NK. Углы LKO1 и BKO1 равны (они измеряются половинами равных дуг LO1 и KO1), поэтому KO1 – биссектриса угла BKL. Аналогично LO1 – биссектриса угла BLK, значит, O1 – центр вписанной окружности треугольника BKL. Точно так же O2, O3 и O4 – центры вписанных окружностей треугольников CLM, DMN и AKN.
Пусть диагонали четырёхугольника O1O2O3O4 пересекаются в точке P. Угол O1PO2 измеряется полусуммой дуг O1O2 и O3O4, то есть половиной окружности. Следовательно, он прямой.
Замечания
4 балла
