|
|
 |
Условие
От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали шесть углов – пирамидок с квадратным основанием и ребром ⅓. Получился многогранник, грани которого – квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями такого многогранника замостить пространство?
Решение 1
Отметим в пространстве целочисленные точки, у которых все координаты одной чётности. Рассмотрим для каждой такой точки множество точек, которые от неё не дальше, чем от других отмеченных. Все пространство разобьётся на такие множества (с точностью до общих границ). Все эти множества получаются друг из друга сдвигом и, следовательно, равны.
Докажем, что эти множества подобны многограннику из условия задачи. Пусть M – множество, соответствующее точке O(0, 0, 0). Соединим O отрезками с "ближайшими" точками. Серединные перпендикуляры к этим отрезкам (в пространстве это плоскости) и высекут M. В частности, восемь плоскостей, отделяющих O от точек (±1, ±1, ±1), высекают октаэдр с вершинами в точках (± 3/2, 0, 0), (0, ± 3/2, 0), (0, 0, ± 3/2) (центры его граней – (± ½, ± ½, ± ½) – середины соответствующих отрезков).
Плоскость x = 1, отделяющая O от точки (2, 0, 0), отсекает от этого октаэдра по трети сторон, выходящих из вершины (3/2, 0, 0). Аналогичные отсечения производят остальные семь плоскостей, отделяющих O от точек (–2, 0, 0), ..., (0, 0, ±2).
Решение 2
Назовём данный многогранник деталью.
Сначала составим из деталей один слой (см. рисунок).
В этом слое есть отверстия – квадраты с ребром ⅓, как и все рёбра детали. Рядом с каждой лункой находятся четыре шестиугольника, и их наклон совпадает с наклоном шестиугольных граней детали, стоящей на квадратной грани. Поэтому деталь можно плотно вставить в любую дырку. Если так закрыть все отверстия в таком слое, то фактически добавятся еще два слоя: сверху и снизу. Так последовательно заполним всё пространство.
Ответ
Можно.
Замечания
1. 8 баллов.
2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №3, М2049).
