Задача 66221

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Тригуб А.

Пусть L – точка пересечения симедиан остроугольного треугольника ABC, а BH – его высота. Известно, что  ∠ALH = 180° – 2∠A.
Докажите, что  ∠CLH = 180° – 2∠C.

Решение

Пусть AF, CG – высоты треугольника. Тогда симедианы AL, CL являются медианами треугольников AGH, CFH, то есть проходят через середины M, N отрезков HG, HF соответственно. Но  ∠MNH = ∠GFH = 180° – 2∠A,  следовательно, условие  ∠ALH = 180° – 2∠A  равносильно вписанности четырёхугольника HLMN, как и условие  ∠СLH = 180° – 2∠С.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	18