Условие
В треугольнике ABC провели чевианы AA', BB' и CC', которые пересекаются в точке P. Описанная окружность треугольника PA'B' пересекает прямые AC и BC в точках M и N соответственно, а описанные окружности треугольников PC'B' и PA'C' повторно пересекают AC и BC соответственно в точках K и L. Проведём через середины отрезков MN и KL прямую c. Прямые a и b определяются аналогично. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.
Решение
Из условия следует, что CM·CB' = CN·CA' и CK·CB' = CP·CC' = CL·CA'. Поэтому KL || MN и прямая c проходит через вершину C. Так как MN и A'B' антипараллельны, эта прямая является симедианой треугольника CA'B' и, значит, делит угол C на части, синусы которых относятся, как CB' : CA'. Из аналогичных соотношений для двух других углов и теоремы Чевы получаем утверждение задачи.
