Задача 66225

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Прямая Симсона ] [ Описанные четырехугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Панов М.Ю.

На диагонали AC вписанного четырёхугольника ABCD взяли произвольную точку P и из неё опустили перпендикуляры PK, PL, PM, PN, PO на прямые AB, BC, CD, DA, BD соответственно. Докажите, что расстояние от P до KN равно расстоянию от O до ML.

Решение

Если P движется по AC с постоянной скоростью, прямые KN и ML также движутся равномерно, не меняя своих направлений, и скорость точки O тоже постоянна. Поэтому разность расстояний  d(P, KN) – d(O, ML)  линейно зависит от положения P. При  P = A  эта разность равна 0 по теореме Симсона (см. задачу 52421), а когда P – точка пересечения AC и BD, она равна 0, поскольку четырёхугольник KLMN описан вокруг окружности с центром  P = O  (∠NKP = ∠DAC = ∠DBC = ∠PKL  в силу вписанности четырёхугольников AKPN и BKPL).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	22