Задача 66235

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD перпендикулярны. Из точки D опущен перпендикуляр DE на сторону AB, а из точки C – перпендикуляр CF на прямую DE. Докажите, что  ∠DBF = ½ ∠FCD.

Решение

 EDB = 45° – (90° – ∠A) = ∠A – 45° = ∠BDC.  Значит, точка B равноудалена от прямых DE и DC. Поскольку трапеция равнобедренная, расстояние от B до DC равно расстоянию от C до AB, которое, в свою очередь, равно расстоянию от B до параллельной AB прямой CF. Следовательно, BF – биссектриса угла CFE, то есть  ∠BFC = 45°.  Пусть перпендикуляр к BF, восставленный из точки F, пересекает BD в точке K. Тогда
∠CFK = ∠CBK = 45°,  значит, четырёхугольник BFKC вписанный и  CK ⊥ BC.  Так как  CF || AB,  то прямая CK является биссектрисой угла FСВ, и  ∠DBF = ∠KCF = ½ ∠FCD  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	8