Задача 66236

Темы:    [ Треугольник (построения) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте на сторонах BC, CA, AB точки A', B', C' так, чтобы выполнялись следующие условия:
  - A'B' || AB;
  - C'C – биссектриса угла A'C'B';
  - A'C' + B'C' = AB.

Решение

  Пусть L – точка пересечения отрезков CC' и A'B'. Тогда  BC' : AC' = A'L : B'L = A'C' : B'C'  и из равенства  A'C' + B'C' = AB  получаем, что  BC' = C'A',  AC' = C'B'.  Поэтому точки C_A и C_B, симметричные C' относительно AC и BC лежат на прямой A'B', а AC'B'C_A – ромб.
  ∠CC'B' = ∠CC_AC_B = ∠CC_BC_A = ½ (180° – 2∠C) = 90° – ∠C,  значит,  ∠B'CC' = ∠AB'C – ∠CC'B' = ∠A – (90° – ∠C) = 90° – ∠B,  то есть прямая CC' проходит через центр описанной окружности (см. рис.). Теперь построение очевидно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	9