Задача 66239

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?

Решение

  Очевидно, что четыре круга расположить требуемым образом можно.
  Пусть есть пять кругов K₁, ..., K₅, удовлетворяющих условию, и a_ij – общая хорда кругов K_i и K_j. Отрежем от круга K₁ сегмент, ограниченный хордой a₁₂ и целиком лежащий в K₂. Проделав так для каждой пары кругов, мы получим пять выпуклых криволинейных восьмиугольников M₁, ..., M₅, каждый из которых имеет четыре стороны-хорды и четыре стороны-дуги. Каждые два из этих восьмиугольников имеют общую сторону-дугу, и никакие три не имеют общих точек. Пусть хорды a₁₂, a₁₃, a₁₄, a₁₅ расположены в этом порядке при обходе границы M₁ по часовой стрелке. Проведя отрезки, соединяющие середины хорд a₁₂, a₂₄, a₁₄, получим треугольник T, каждая сторона которого лежит внутри одного из восьмиугольников (M₁, M₂ и M₄), а вершины – на указанных хордах. Поскольку отрезок, соединяющий середины хорд a₁₃, a₁₅, пересекает сторону T (соединяющую a₁₂ с a₁₄), один из многоугольников M₃, M₅ лежит внутри T, а другой снаружи. Но тогда они не имеют общей стороны. Противоречие.

Ответ

4 круга.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	12