|
|
 |
Условие
Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.
Решение
Докажем, что с точностью до движений и перестановок цветов существует единственная раскраска, удовлетворяющая условию. Назовём расстоянием между двумя гранями минимальное число переходов через ребро, которое нужно сделать, чтобы пройти из одной грани в другую. Тогда расстояние от каждой грани до противоположной равно 5. Кроме того, по три грани находятся от данной на расстоянии 1 и 4, и по шесть граней на расстоянии 2 и 3.
Рассмотрим одну из красных граней. По условию грани, находящиеся от неё на расстоянии 1 или 2, красными быть не могут. Если раскрасить красным грань, противоположную рассматриваемой, то ни одна из остальных граней не может быть красной. Если красной будет одна из граней на расстоянии 4 от исходной, то остаются только две грани, не имеющие общих вершин с двумя красными гранями. Причём эти две грани – соседние, так что красной из них может быть лишь одна. Наконец, из шести граней, находящихся от выбранной на расстоянии 3, красными могут быть не более трёх. Таким образом, красных граней не может быть больше четырёх. Поскольку это верно и для остальных цветов, то в каждый цвет раскрашено ровно четыре грани. При этом плоскости одноцветных граней при продолжении образуют правильный тетраэдр. Но для любой точки внутри тетраэдра сумма расстояний от неё до его граней равна высоте тетраэдра. Отсюда, очевидно, следует утверждение задачи.
