Задача 66252

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Блинков Ю.А.

В треугольнике ABC высота AH делит медиану BM пополам.
Докажите, что из медиан треугольника ABM можно составить прямоугольный треугольник.

Решение

Пусть медианы AK, BL и MN треугольника ABM пересекаются в точке T (см. рис.). Так как  AT = ⅔ AK,  BT = ⅔ BL,  MT = ⅔ MN,  достаточно составить прямоугольный треугольник из отрезков AT, BT и MT. Но это треугольник AMT, поскольку  MN ⊥ AH  как средняя линия треугольника ABC, а  AM = 2LT = BT.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1