Задача 66261

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки подобия ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ω_A треугольника BHC взята точка X_A, что  AH = AX_A  и  H ≠ X_A.  Аналогично определены точки X_B и X_C. Докажите, что треугольник X_AX_BX_C и ортотреугольник треугольника ABC подобны.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности Ω треугольника ABC, AH₁, BH₂, AH₁, CH₃, – высоты (см. рис.). Окружность Ω_A получается из Ω параллельным переносом на вектор AH (см. решение задачи 55597). Поэтому касательная HX_A к Ω_A в точке H параллельна касательной к Ω в точке A и следовательно, перпендикулярна радиусу OA.
  Треугольник HAX_A равнобедренный, поэтому его высота совпадает с его медианой. Значит, AO – серединный перпендикуляр к отрезку HX_A. Аналогично BO, CO – серединные перпендикуляры к отрезкам HX_B, HX_C соответственно. Поэтому точки H, X_A, X_B, X_C лежат на одной окружности с центром O. Следовательно,  ∠X_AX_CX_B = ∠X_AHX_B = 180° – ∠AOB = 180° – 2∠C = ∠H₁H₃H₂.  Аналогично  ∠X_AX_BX_C = ∠H₁H₂H₃  и
∠X_BX_AX_C = ∠H₂H₁H₃.  Итак, у треугольников X_AX_BX_C и H₁H₂H₃ соответствующие углы равны, то есть они подобны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2