|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Прямая, проходящая через I и перпендикулярная OI, пересекает AB в точке X, а внешнюю биссектрису угла C – в точке Y. В каком отношении I делит отрезок XY?
Решение 1
Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Тогда для треугольника IaIbIc треугольник ABC является ортотреугольником, а его описанная окружность ω – окружностью девяти точек. Поэтому центр описанной окружности Ω треугольника IaIbIc находится в точке, симметричной I относительно O, а её радиус равен удвоенному радиусу ω. В Ω вписан треугольник A'B'C', полученный из ABC гомотетией с центром I и коэффициентом 2. Прямая l, проходящая через I перпендикулярно OI, содержит хорду окружности Ω с серединой в I, также через I проходят хорды IaA' и IbB' (см. рис.). По теореме о бабочке (см. задачу 52460) прямые IaIb и A'B' пересекают l в точках, симметричных относительно I, следовательно, IX : IY = 1 : 2.Решение 2
Рассмотрим ГМТ, для которых сумма ориентированных расстояний до сторон треугольника ABC равна 3r, где r – радиус вписанной окружности. Так как ориентированное расстояние является линейной функцией координат точки, этим ГМТ будет проходящая через I прямая. Поскольку сумма проекций вектора OI на ориентированные прямые AB, BC, CA равна нулю, то эта прямая перпендикулярна OI. Так как точка Y лежит на внешней биссектрисе угла C, сумма расстояний от неё до прямых AC и BC равна нулю. Значит, расстояние от Y до AB равно 3r, то есть YX = 3IX.
Ответ
1 : 2.
