Задача 66264

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Прямая Симсона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω₂ лежит на окружности ω₁. Из точки X окружности ω₁ проведены касательные XP и XQ к окружности ω₂ (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω₁ в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Решение

Пусть O – центр ω₂. Так как XO – биссектриса угла PXQ, то  OR = OS.

Первый способ. Прямоугольные треугольники OPR и OQS равны по катету и гипотенузе, то есть  PR = QS  (см. рис.). Поскольку  ∠;XPQ = ∠XQP,  то точки R и S равноудалены от прямой PQ, что равносильно утверждению задачи.

Второй способ. Середина K отрезка RS – это проекция O на прямую RS. Точки P, Q и K лежат на одной прямой – прямой Симсона точки O (см. задачу 52421.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5