Задача 66267

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фролов И.И.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ω_Q и ω_P треугольников ACQ и BDP.

Решение 1

  При инверсии с центром в точке X прямые AC и BD перейдут в окружности ω₁ и ω₂, пересекающиеся в точках X и M', окружность ω – в прямую, касающуюся этих окружностей в точках P', Q' соответственно, а окружность Ω – в прямую, параллельную P'Q', пересекающую ω₁ в точках A', C', и ω₂ – в точках B', D' (см. рис.). Поскольку M лежит на радикальной оси окружностей ω_Q и ω_P, утверждение задачи равносильно тому, что радикальная ось окружностей ω_Q' и ω_P' треугольников A'C'Q' и B'D'P' совпадает с прямой XM'.

  Пусть K – точка пересечения XM' и A'D'. Так как  A'K·KC' = XK·KM' = B'K'·KD',  точка K лежит на радикальной оси окружностей ω_Q' и ω_P'. Кроме того, окружность ω_Q' вторично пересекает P'Q' в точке, симметричной Q' относительно P', а окружность ω_P' – в точке, симметричной P' относительно Q'. Поэтому степени лежащей на M'X середины отрезка P'Q' относительно этих окружностей также равны.

Решение 2

  Пусть касательная l в точке X к окружности Ω пересекает AC в точке S, а BD – в точке T. Тогда SM – радикальная ось Ω и ω_Q, ST – радикальная ось Ω и ω. Значит, S – радикальный центр окружностей Ω, ω_Q и ω, то есть SQ – радикальная ось окружностей ω_Q и ω (так как Q лежит на обеих окружностях). Аналогично TP – радикальная ось окружностей ω_P и ω. Следовательно, точка G пересечения SQ и TP – радикальный центр окружностей ω_Q, ω_P и ω. С другой стороны, M – радикальный центр окружностей ω_Q, ω_P и ω, то есть MG – радикальная ось окружностей ω_Q и ω_P. Осталось заметить, что MG проходит через X, так как G – внешняя точка Жергонна треугольника MST.

Замечания

Внешняя точка Жергонна – точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вневписанной окружности с прямыми, содержащими его стороны. То, что эти прямые перескаются в одной точке, легко следует из теоремы Чевы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
класс
Класс	9
задача
Номер	9.8