Задача 66296

Темы:    [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Решите уравнение  (x + 1)² + (x + 2)² + ... + (x + 10)² = (x + 1 + 2 + ... + 10)².

Решение

  Выполним возведение в квадрат и сгруппируем некоторые слагаемые:
 10x² + 2(1 + 2 + ... + 10)x + 1² + 2² + ... + 10² = x² + 2(1 + 2 + ... + 10)x + (1 + 2 + ... + 10)².
  Учитывая, что  1² + 2² + ... + 10² = ⅙·10·11·21 = 385,  а  (1 + 2 + ... + 10)² = 55² = 3025,  после приведения подобных слагаемых, получим
 9x² = 2640,  то есть  

Ответ

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5.1