|
|
 |
Условие
Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.
Решение
Достаточность. Равнобедренный треугольник можно разрезать по медиане на два равных прямоугольных треугольника, а прямоугольный – по медиане, проведённой к гипотенузе, на два равнобедренных. Если каждый из них разрезать на два равных треугольника, получим четыре равных прямоугольных треугольника. Аналогично, превратим каждый из них в четыре меньших равных прямоугольных треугольника и т.д.
Необходимость. Последнее разрезание на две части даст два равных треугольника, у которых есть смежные углы. Такой угол больше не смежных с ним углов другого треугольника, значит, он равен смежному, то есть прямой. Таким образом, в итоге исходный треугольник разбился на прямоугольные треугольники. Пусть их углы α, β = 90° – α и 90°, где α ≤ β. Если α = 45° или α = 30°, все углы исходного треугольника кратны α, и несложный перебор показывает, что возможны только наборы (45°, 45°, 90°), (30°, 60°, 90°), (30°, 30°, 120°), (60°, 60°, 60°), то есть треугольник прямоугольный или равнобедренный.
Для остальных значений угла α список α, β, 2α, 90°, 2β не содержит равных углов, и парой смежных углов из списка могут быть либо (90°, 90°),
либо (2α, 2β). Пусть в конце площадь каждой части равна 1, тогда площадь s исходного и любого из промежуточных треугольников – натуральное число.
Докажем индукцией по s, что набор углов такого треугольника может быть одним из трёх типов: (α, β, 90°), (α, α, 2β) или (β, β, 2α).
База (s = 1) уже доказана.
Шаг индукции. Треугольник T с s > 1 был разбит на две части меньшей площади. По предположению индукции наборы углов в частях принадлежат указанному списку и в них есть пара смежных углов. Если смежные углы прямые, то полученные части граничат по катету. Против этого катета могут лежать либо равные углы α, либо равные углы β, либо один α, а другой β. Во всех случаях треугольник T принадлежит к одному из указанных трёх типов. Если же смежные углы равны 2α и 2β, то треугольник T прямоугольный с углами (α, β, 90°).
Ответ
Равнобедренные или прямоугольные.
