Задача 66303

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Дан квадрат ABCD. Первая окружность касается сторон угла A, вторая – сторон угла B, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону AB в её середине.

Решение

Пусть O_a, O_b – центры окружностей, T_a, T_b – точки их касания с AB, M – середина AB (см. рис.). Из условия следует, что  T_aM = T_bO_b,  T_bM = T_aO_a.  Следовательно, прямоугольные треугольники O_aT_aM и MT_bO_b равны, а  O_aM ⊥ O_bM.  Значит, прямая l, симметричная AB относительно O_aM, будет также симметрична AB относительно O_bM. Поскольку расстояния от центров окружностей до l равны их радиусам, l – общая касательная.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5