Задача 66304

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Подобные фигуры ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника A₁A₂...A₁₃ и B₁B₂...B₁₃, причём точки B₁ и A₁₃ совпадают и лежат на отрезке A₁B₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые A₁A₉, B₁₃B₈ и A₈B₉ проходят через одну точку.

Решение

  Рассмотрим правильный тринадцатиугольник C₁C₂...C₁₃, где  C₁ = A₁,  C₁₃ = B₁₃.  Очевидно, прямые A₁A₉ и B₁₃B₈ совпадают с C₁C₉ и C₁₃C₈ соответственно. Кроме того, поскольку  C₁C₁₃ = C₈C₉,  то C₁C₈ и C₁₃C₉ – основания равнобедренной трапеции. Точки A₈ и B₉ лежат на этих основаниях, причём по теореме Фалеса  A₁A₈ : A₈C₈ = A₁A₁₃ : B₁B₁₃ = C₉B₉ : B₉B₁₃.  Следовательно, прямая A₈B₉ проходит через точку пересечения диагоналей трапеции (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	8
задача
Номер	8.7