Задача 66308

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки подобия ] [ Средняя линия треугольника ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Mudgal A.

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.

Решение

  Пусть BB′, CC′ – высоты треугольника. Так как  ∠PHQ = 180° – ∠A = ∠B′HC′,  треугольники HB′Q и HC′P подобны. Значит, когда точка P равномерно движется по отрезку AB, точка Q также равномерно движется по AC, а тогда и точка K движется по некоторому отрезку. Поскольку
 ∠AHC′ = ∠C > ∠A = ∠CHB′  и  ∠AHB′ > ∠BHC′,  крайние точки этого отрезка соответствуют совпадению точки P с B или Q с C. Рассмотрим для определенности последний случай (см. рис.).

  В этом случае  ∠HCP = ∠HAP = ∠HCB,  то есть треугольник BCP равнобедренный и расстояние от K до середины BC равно BC'. Поскольку
∠B > 60°,  BC' < ½ BC  и K лежит внутри окружности с диаметром BC. Аналогично внутри этой окружности лежит второй конец отрезка, по которому движется точка K, а следовательно, и весь этот отрезок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3