Задача 66310

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что  PQ || BC.

Решение

Пусть O – центр Ω. Так как прямая AO симметрична высоте AH_a относительно биссектрисы угла A (см. задачу 52358), а  ∠AH_bH_c = ∠B,  то
AO ⊥ H_bH_c,  то есть AO – серединный перпендикуляр к отрезку XY. Следовательно,  AP = AX = AY = AQ,  то есть точки P, X, Y, Q лежат на окружности с центром A (см. рис.). Поэтому прямые XY и PQ антипараллельны относительно прямых XP и YQ, которые параллельны высотам треугольника. Но BC и H_bH_c также антипараллельны относительно высот, значит,  PQ || BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5