Задача 66316

Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Соколов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ω_A, ω_B, ω_C, ω_D – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через X_A произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим X_B, X_C, X_D. Докажите, что  X_A + X_B + X_C + X_D = 0.

Решение

  Для вписанного четырёхугольника утверждение очевидно (все степени равны нулю).
  Заметим, что точка D лежит вне окружности ω_D тогда и только тогда, когда  ∠A + ∠C > ∠B + ∠D,  то есть тогда и только тогда, когда C лежит внутри окружности ω_C. Таким образом, знаки чисел X_C и X_D противоположны.
  Пусть прямая CD пересекает AB в точке P, а окружности ω_C, ω_D повторно – в точках C′, D′. Тогда отношение площадей треугольников ABC и ABD равно отношению их высот, которое, в свою очередь, равно ^PC/_PD. Поскольку  PC·PD′ = PA·PB = PC′·PD,  это отношение равно
^PC′/_PD′ = ^PC–PC′/_PD–PD′ = ^CC′/_DD′.  С другой стороны, отношение абсолютных значений степеней точек C и D относительно соответствующих окружностей равно  ^CD·CC′/_CD·DD′ = ^CC′/_DD′  (см. рис.). Следовательно,  |X_C| = |X_D|  и  X_C + X_D = 0.

  Аналогично  X_A + X_B = 0.
  Если  AB || CD,  то  S_ABC = S_ABD,  CC′ = DD′,  и мы опять получаем, что  X_C + X_D = 0.

Замечания

Равенство  |X_A| = |X_B| = |X_C| = |X_D|  выполняется и для точек, не являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3