|
|
 |
Условие
а) Может ли шар некоторого радиуса высекать на гранях какого-нибудь правильного тетраэдра круги радиусов 1, 2, 3 и 4?
б) Тот же вопрос для шара радиуса 5.
Решение
а) Возьмём такой правильный тетраэдр, что шар, касающийся его рёбер, высекает на гранях круги радиуса больше 4. Затем будем отдалять одну из граней от центра шара, пока в этой грани не высечется круг радиуса 4. Тетраэдр при этом останется правильным, радиусы кругов в других гранях не изменятся. Аналогично отдалим остальные грани, чтобы получить нужные круги.
б) Рассмотрим шар с центром O радиуса 5. Опишем вокруг него правильный тетраэдр. На радиусах, соединяющих O с точками касания, найдём точки, для которых плоскости, проходящие через эти точки и перпендикулярные этим радиусам, пересекают шар по кругам радиусов 1, 2, 3, 4.
Осталось доказать, что эти четыре круга не пересекаются (тогда указанные плоскости образуют тетраэдр). Достаточно доказать это для кругов радиусов 3 и 4. Заметим: если бы соответствующие радиусы были перпендикулярны, то круги касались бы (поскольку треугольник со сторонами 3, 4, 5 прямоугольный). Так как угол между радиусами на самом деле тупой, круги пересекаться не будут.
Ответ
Может (в обоих пунктах).
Замечания
Баллы: 2 + 3.
