|
|
 |
Условие
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за октябрь, на сколько – за ноябрь, ..., на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на $x$%, то курс падал на $x$%, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?
Решение
Будем вместо процентов использовать доли: изменение курса на $x$ $(0 < |x| < 1)$ означает домножение на $1 + x$. Например, если курс возрос на $20\%$, то $x = 0,2$, а если уменьшился на 20%, то $x = – 0,2$). Пусть аналитик предсказал изменения $x_1, x_2, x_3, ...$, и курс в итоге домножился на $a$ $(a > 0)$. Тогда по условию $a = (1 + x_1)(1 + x_2)...(1 + x_{12}) = (1 - x_1)(1 - x_2)...(1 - x_{12})$, откуда $a^2 = (1 - x_{1}^2)(1 - x_{2}^2)...(1 - x_{12}^{2}) < 1$, и, следовательно, $a < 1$.
Ответ
Уменьшился.
Замечания
1. (См. также задачу 66335.)
2. 6 баллов.
