Задача 66351

Тема:    [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Какие значения может принимать выражение  x + y + z,  если  sin x = cos y,  sin y = cos z,  sin z = cos x,  0 ≤ x, y, z ≤ ^π/₂?

Решение

sin x = sin(^π/₂ – y),  sin y = sin(^π/₂ – z),  sin z = sin(^π/₂ – x).  Из условия следует, что все выражения под знаком синуса находятся в первой четверти. Следовательно,  x = ^π/₂ – y,  y = ^π/₂ – z,  z = ^π/₂ – x.  Сложив, получим  x + y + z = ^3π/₂ – (x + y + z),  то есть  x + y + z = ^3π/₄.

Ответ

^3π/₄.

Замечания

1. Из полученных равенств следует, что  x = y = z = ^π/₄.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2.1