Задача 66371

Темы:    [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m² + 4m³ + 5m⁴ + 4m⁵ + 3m⁶ + 2m⁷ + m⁸ является квадратом целого числа?

Решение

Р = (1 + m + m² + m³ + m⁴)², поэтому Р является квадратом целого числа при любых целых значениях m. Получить это можно, разложив Р на множители, например, так: 1 + 2m + 3m² + 4m³ + 5m⁴ + 4m⁵ + 3m⁶ + 2m⁷ + m⁸ = (1 + m + m² + m³ + m⁴) + (m + m² + m³ + m⁴ + m⁵) + (m² + m³ + m⁴ + m⁵ + m⁶) + (m³ + m⁴ + m⁵ + m⁶ + m⁷) + (m⁴ + m⁵ + m⁶ + m⁷ + m⁸) = (1 + m + m² + m³ + m⁴) + m (1 + m + m² + m³ + m⁴) + m² (1 + m + m² + m³ + m⁴) + m³ (1 + m + m² + m³ + m⁴) + m⁴ (1 + m + m² + m³ + m⁴) = (1 + m + m² + m³ + m⁴)².

Ответ

при любых.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4.1