|
|
 |
Условие
Фиксированы окружность, описанная
около остроугольного треугольника ABC, и вершина C. Ортоцентр
H движется по окружности с центром в точке C. Найдите ГМТ
середин отрезков, соединяющих основания высот, проведенных из вершин
A и B.
Решение
Пусть AA1 и BB1 – высоты, A2 и B2 – точки пересечения их продолжений с описанной окружностью, K – середина A1B1, P – середина A2B2, Q – середина CP (см. рисунок).
Докажем, что искомым ГМТ является дуга окружности с центром в точке Q и радиусом 0,5CH, ограниченная прямой A2B2 (точки пересечения не входят).
Сначала покажем, что все искомые точки лежат на фиксированной окружности.
Воспользуемся следующим фактом:
Точки, симметричные ортоцентру относительно прямых, содержащих стороны треугольника, лежат на описанной окружности этого треугольника.
Заметим, что в силу симметрии CB2 = CH = CA2, то есть точки A2 и B2 – фиксированы. Следовательно, фиксирована и середина A2B2 – точка P, а значит и середина CP – точка Q.
Заметим, что B1PA1H – параллелограмм, то есть K – середина PH. Следовательно, QK = 0,5CH, то есть точка K лежит на окружности с центром в точке Q и радиусом 0,5CH.
Теперь, поскольку все такие точки H лежат по одну сторону от хорды A2B2, то и точка K (середина PH) при движении точки H остается в той же полуплоскости относительно A2B2.
Осталось доказать, что любая точка на указанной дуге может служить серединой отрезка A1B1. Действительно, поскольку K – середина PH, то по точке K мы однозначно восстанавливаем точку H и точки A1 и B1 как середины отрезков HA2 и HB2. Осталось заметить, что по построению треугольник A1B1C – остроугольный, то есть ABC также остроугольный.
Комментарии. 1) Точку Q также можно определить как середину отрезка LN, где L и N – середины отрезков CB2 и CA2 соответственно. Это дает другое решение задачи: LNA1B1 – параллелограмм с фиксированной стороной LN, ее серединой Q и фиксированной длиной другой стороны. Тогда середина A1B1 удалена от Q на фиксированное расстояние.
2) Точка P – ортоцентр треугольника CA1B1, откуда можно получить еще один способ решения.
В треугольнике CA1B1 фиксированы вершина, ортоцентр и радиус описанной окружности (равный 0,5CH). Тогда середина противолежащей стороны удалена от середины CP на расстояние, равное радиусу.
3) Точки P и Q лежат на прямой CO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
4) Отрезок AB при данных условиях фиксирован (как и A1B1), а его середина движется по окружности с центром O.
