|
|
 |
Условие
Разрежьте каждый из равносторонних
треугольников со сторонами 2 и 3 на три части и сложите из всех
полученных частей равносторонний треугольник.
Решение
На рисунке слева показано, как надо разрезать треугольники, а на рисунке справа – как из них сложить большой треугольник. Отрезки, отмеченные на рисунках одной черточкой, двумя черточками и тремя черточками, равны половине, четверти и трем четвертям длины стороны единичного равностороннего треугольника.
Докажем, что длина отрезка DE равна четверти длины стороны единичного треугольника (доказательство для остальных отрезков аналогично). Действительно, MN || BC и AN = NC, следовательно, MN – средняя линия в треугольнике ABC и MN = BC/2. Аналогично, DE || MN и AE = EN, следовательно, DE – средняя линия в треугольнике AMN и DE = MN/2. Следовательно, DE = BC/4.
Комментарий. Путь к решению может быть
примерно следующим. Поскольку площадь треугольника, который должен
получиться, в 13 раз больше площади правильного треугольника со
стороной 1, его сторона равна . Такой треугольник можно
расположить на треугольной сетке, как показано на рисунке ниже.
Расположим на той же сетке треугольники XYZ и PBQ со сторонами 2
и 3 так, чтобы у каждого из них одна вершина совпала с вершиной
большого треугольника. Теперь отрежем и поместим внутрь большого
треугольника выступающие части маленьких, и заметим, что из двух
оставшихся незакрытыми кусков большого треугольника можно сложить
треугольник со стороной 1, который является общей частью двух
маленьких треугольников.
