|
|
 |
Условие
Существует ли четырёхзначное число, сумма цифр которого в 25 раз меньше их произведения?
Решение
Предположим, что такое число существует. Тогда из условия задачи следует, что произведение его цифр делится на 25, поэтому среди его цифр должны быть две пятерки (нулей быть не может, иначе произведение цифр было бы равно нулю).
Пусть a и b – две другие его цифры, тогда сумма цифр этого числа равна 10 + a + b, а произведение цифр равно 25ab.
Составим уравнение: 25(10 + a + b) = 25ab. Оно равносильно уравнению 10 + a + b = ab, которое можно привести к виду: ab – a – b + 1 = 11. Тогда левую часть полученного уравнения можно разложить на множители способом группировки. В результате этого получим: (a – 1)(b – 1) = 11. Так как 11 – простое число, то один из множителей равен 1, а другой равен 11. Но a и b – цифры, поэтому ни одна из них не равна 12. Противоречие.
