|
|
 |
Условие
Андрей Степанович каждый день выпивает столько капель валерьянки, сколько в этом месяце уже было солнечных дней (включая текущий день). Иван Петрович каждый пасмурный день выпивает количество капель валерьянки, равное номеру дня в месяце, а в солнечные дни не пьет. Докажите, что если в апреле ровно половина дней будет пасмурные, а другая половина – солнечные, то Андрей
Степанович и Иван Петрович выпьют за месяц поровну валерьянки.
Решение
Первое решение. Обозначим через a1, a2, ..., a15 числа месяца, в которые были солнечные дни. Тогда Андрей Степанович за дни с 1-го числа по a1-е не выпьет ни одной капли, за дни с a1-го числа до a2-го (a1-е включительно, a2-е не включительно) будет пить по одной капле и т. д. Итого он выпьет
1 · (a2 – a1) + 2 · (a3 – a2) + ... 14 · (a15 – a14) + 15 · (30 – a15 + 1) = 15 · 31 – (a1 + a2 + ... + a15).
Иван Петрович же выпьет количество капель, равное сумме номеров всех дней, кроме ai:
(1 + 2 + ... + 30) – (a1 + a2 + ... + a15) = 15 · 31 – (a1 + a2 + .... + a15).
Второе решение. Для начала рассмотрим ситуацию, когда первые пятнадцать дней апреля были пасмурными, а последние пятнадцать – солнечными. Легко проверить, что оба персонажа задачи выпьют по 1 + 2 + 3 + ... + 15 = 120 капель валерьянки – действительно поровну.
Поменяем некоторый солнечный день s с некоторым пасмурным днем p местами` и посмотрим, как изменятся месячные дозы валерьянки у обоих. Предположим, что s > p. Заметим, что Андрей Степанович в дни, начиная с p не включительно по s включительно будет пить на одну каплю валерьянки больше, чем до перемены дней местами, а во все остальные дни он будет пить столько же. Получается, что всего он выпьет на s – p капель больше, чем до операции перемены дней.
Что касается Ивана Петровича, то он после перемены дней также будет пить на s – p капель больше, чем до перемены, так как он перестал пить валерьянку в день p и начал в день s. Аналогично можно доказать, что если s < p, то количество выпитой каждым из героев задачи валерьянки уменьшится на p – s.
Итак, операция перемены пасмурного и солнечного дня местами у обоих меняет дозу принятой валерьянки на одно и то же число капель. Остается заметить, что операциями перемены дней можно из исходного месяца (с 15 пасмурными днями в начале) получить любой другой.
Третье решение. Рассмотрим клетчатую "лестницу": фигуру, состоящую из 30 столбцов, соответствующих дням в апреле, в каждом столбце которой клеток столько, каков номер этого дня в месяце (см. рисунок).
В каждом столбце закрасим серым цветом клеток столько, сколько капель валерьянки выпил Андрей Степанович в соответствующий день, а каждый столбец, соответствующий пасмурному дню, заполним крестиками.
Таким образом, Андрей Степанович выпил валерьянки столько, сколько клеток закрашено, а Иван Петрович – столько, сколько в таблице крестиков. Достаточно доказать, что крестиков в незакрашенных клетках столько же, сколько закрашенных клеток без крестиков.
Закрашенные клетки без крестиков стоят в "солнечных" столбцах. Каждый солнечный день Андрей Степанович выпивал на одну каплю валерьянки больше, чем в предыдущий солнечный день (в первый солнечный день он выпил 1 каплю). Получается, количество закрашенных клеток без крестиков равно 1 + 2 + 3 + ... + 15.
Теперь посчитаем количество крестиков в незакрашенных клетках. Пусть n-й день был пасмурным и до этого было k солнечных дней. Тогда в соответствующем столбце будет стоять n – k "незакрашенных" крестиков (и k "закрашенных"). Заметим, что это ровно (n – k)-й пасмурный день, то есть в первый пасмурный день незакрашенный крестик будет один, во второй – два и т. д. Таким образом, количество незакрашенных крестиков равно 1 + 2 +3 + ... + 15.
