Задача 66473
|
|
 |
Условие
Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырех треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?
Решение
Рассмотрим 3 палочки длины 1 и палочку длины a. Тогда из палочек можно сложить либо правильный треугольник со стороной 1, либо треугольник со сторонами 1, 1, a. Подберем a, чтобы эти треугольники имели равную площадь. Для этого достаточно, чтобы высоты к сторонам длины 1 в этих треугольниках совпали, а это равносильно тому, что углы между единичными сторонами либо равны, либо в сумме дают 180°. То есть нужно подобрать a таким, чтобы искомый угол был равен 120° ; очевидно, такой существует ($a = \sqrt{3}$).Комментарий. На самом деле несложно доказать, что единственный пример, когда не все палочки одинаковой длины, это $(x,x,x,\sqrt{3}x)$.
