|
|
 |
Условие
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы). В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы полностью.Решение
Пусть окрашенная сфера $S$ имеет центр $O$, и пусть $S_i$ — полусферы, окрашенные в $i$-й цвет, $i=1,\dots,5$. Пусть $A_i$ — срединная точка полусферы $S_i$: $A_i\in S_i$ и плоскость, проходящая через граничную окружность полусферы $S_i$, перпендикулярна вектору $\overrightarrow{OA_i}$.
Выпуклая оболочка точек $A_1,\dots, A_5$ есть выпуклый многогранник $M$ с вершинами $A_1,\dots, A_5$. Покажем, что этот многогранник содержит точку $O$. Действительно, если $O\notin M$, то найдется такая плоскость $\alpha$, проходящая через $O$, что $M$ лежит строго внутри одного из полупространств, на которые $\alpha$ делит все пространство. Тогда для точки $P\in S$, лежащей в другом полупространстве и такой, что $\overrightarrow{OP}\perp \alpha$, все скалярные произведения $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA_i}$ отрицательны, откуда точка $P$ не принадлежит никакой полусфере $S_i$, а значит, не покрашена.
Принадлежность $O\in M$ в свою очередь означает, что $O$ принадлежит одному из тетраэдров, образованных какими-то четырьмя точками из $A_1,\dots,A_5$ ($M$ есть объединение таких тетраэдров). Пусть, без ограничения общности, точка $O$ принадлежит тетраэдру с вершинами $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$. Это означает, что сфера $S$ покрашена первыми четырьмя красками: если $A\in S$ и $A\notin S_i$ для $i=1,2,3,4$, то $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA_i} < 0$ для всех $i=1,2,3,4$, то есть весь тетраэдр $A_1A_2A_3A_4$ лежит строго в одном полупространстве относительно плоскости, проходящей через $O$ перпендикулярно вектору $\overrightarrow{OA}$, и не может содержать точку $O$.
Комментарий редактора.
Доказывать, что точка $O$ внутри многогранника $M$ действительно лежит в одном из указанных тетраэдров, можно следующим образом. Пусть луч, выходящий из точки $A_1$ и проходящий через точку $O$, пересекает дальше границу многогранника в точке $Q$. Поскольку точка $Q$ лежит на одной из граней многогранника, она принадлежит треугольнику с вершинами в каких-то трех из исходных точек, $A_i$, $A_j$, $A_k$. А значит, $O$ принадлежит тетраэдру $A_1A_iA_jA_k$. (Само это утверждение является частным случаем теоремы Каратеодори о выпуклой оболочке: любая точка $n$-мерного пространства, принадлежащая выпуклой оболочке нескольких точек, принадлежит и выпуклой оболочке не более чем $n+1$ из этих точек.)
