|
|
 |
Условие
Внутри равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K так, что AB = BC = CK и ∠KAC = 30°. Найдите угол
AKB.
Решение
Первое решение. Построим на AC равносторонний треугольник ACL так, чтобы точки L и B лежали с одной стороны от AC (см. рис.).
Проведем в треугольнике ABC высоту BM, она же серединный перпендикуляр к стороне AC. Так как ALC – равносторонний, точка L также лежит на прямой BM. Кроме этого, проведем в треугольнике ALC высоту AN. Так как AN является биссектрисой угла LAC, то точка K лежит на этой прямой. Отметим также, что K лежит с той же стороны от BM, что и A, так как из-за CK = CB она не может лежать внутри треугольника BMC; таким образом, K лежит на отрезке AN.
Заметим, что прямоугольные треугольники BMC и KNC равны по катету и гипотенузе (MC = AC/2 = LC/2 = NC, BC = KC). Отсюда следует, во-первых, что BM = KN, во-вторых, что B лежит на отрезке LM (так как BM = KN < AN = LM), и, наконец, что LB = LM – BM = AN – KN = AK.
Теперь рассмотрим четырехугольник ALBK. В нем ∠LAK = ∠ALB = 30° и AK = LB, то есть это равнобокая трапеция. Отсюда следует, что ∠AKB = 180° – ∠KAL = 150°.
Второе решение. Построим на отрезке AB равносторонний треугольник ABP так, чтобы точки P и C лежали по одну сторону от прямой AB (см. рис.). Тогда треугольник PBC – равнобедренный с основанием PC (BP = AB = BC).
Как известно, любой отрезок, лежащий внутри треугольника, короче одной из его сторон (если он не совпадает ни с одной из них); а так как отрезок CK равен сторонам AB и BC треугольника ABC, он должен быть короче AC. Отсюда следует, что для треугольника ABC верно AC > AB = BC, то есть ∠ABC > 60° > ∠BAC. Следовательно, точка P лежит по другую сторону от прямой AC, чем точка B.
Заметим, что ∠BCP = (180° – ∠PBC) : 2 и ∠BCA = 180° – ∠ABC) : 2, так как треугольники ABC и PBC – равнобедренные. Тогда ∠PCA = ∠PCB – ∠ACB = (180° – ∠PBC) – (180° – ∠ABC) : 2 = (∠ABC – ∠PBC) : 2 = ∠ABP : 2 = 30°, так как треугольник ABP – равносторонний. Из равенства углов ∠KAC = 30° = ∠ACP получаем AK || CP.
Параллельность AK и CP и равенство KC = AP означают, что четырехугольник AKCP – параллелограмм или равнобокая трапеция. Заметим, что ∠KAP < ∠BAP = 60° < 90° и ∠KCP < ∠PCB < 90° (угол при основании равнобедренного треугольника), но в равнобокой трапеции сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, AKCP – параллелограмм.
Осталось посчитать углы. Пусть ∠BAK = α, тогда ∠CAP = ∠BAP – ∠BAK – ∠KAC = 30° – α.
При этом ∠KCA = ∠CAP, так как AKCP – параллелограмм.
Заметим, что ∠BCK = ∠BCA – ∠KCA = ∠BAC – ∠KCA = α + 30° – (30° – α) = 2α.
Следовательно, из суммы углов треугольника BKC получаем ∠KBC = (180° – ∠BCK) : 2 = (180° – 2α) : 2 = 90° – α.
При этом, из суммы углов треугольника ABC получаем ∠ABC = 180° – 2∠BAC = 180° – 2(30° + α) = 120° – 2α.
Наконец, рассмотрим треугольник ABK. В нем известны углы ∠ABK = 30° – α и ∠BAK = α. Следовательно, третий угол ∠AKB = 150°.
Третье решение. Проведем в треугольнике ABC высоту BM и обозначим ее точку пересечения с прямой AK за O (см. рис.). Заметим, что ∠AOM = 60° и, из симметрии относительно BL, ∠COM = 60°. Тогда ∠AOC = 120° и ∠COB = 120°, то есть лучи OB и OK симметричны относительно прямой CO. Так как точки B и K являются пересечениями этих лучей с некоторой окружностью с центром в C (которая тоже симметрична относительно CO), то и сами эти точки симметричны; в частности, имеем OB = OK.
Получаем, что треугольник BKO равнобедренный с углом 120° при вершине O, откуда ∠OKB = 30° и ∠AKB = 150°.
