|
Название задачи: Учуй кекс. |
 |
Условие
Фокусник научил Каштанку лаять столько раз, сколько он ей тайком от публики покажет. Когда Каштанка таким способом правильно ответила, сколько будет дважды два, он спрятал вкусный кекс в чемодан с кодовым замком и сказал:— Восьмизначный код от чемодана — решение ребуса УЧУЙ = КЕ × КС. Надо заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные разными так, чтобы получилось верное равенство. Пролай нужное число раз на каждую из восьми букв, и получишь угощение.
Но тут случился конфуз. Каштанка от волнения на каждую букву лаяла на 1 раз больше, чем надо. Конечно, чемодан не открылся. Вдруг раздался детский голос: «Нечестно! Собака правильно решила ребус!» И действительно, если каждую цифру решения, которое имел в виду фокусник, увеличить на 1, получится ещё одно решение ребуса!
Можно ли восстановить: а) какое именно решение имел
в виду фокусник; б) чему равнялось число УЧУЙ в этом
решении?
Решение
а) Заметим, что КЕ и КС заменяют разные числа, но от их перестановки произведение УЧУЙ не изменится. Значит, для каждого решения ребуса есть парное, где цифры, соответствующие Е и С, поменяны местами. Поэтому однозначно восстановить решение, задуманное фокусником, не получится.
б) После увеличения всех цифр на 1 получилось снова
решение ребуса, значит,
УЧУЙ + 1111 = (КЕ + 11)(КС + 11) = КЕ · КС + 11 · КЕ + 11 · КС + 11 · 11.
Поскольку при этом УЧУЙ = КЕ · КС, получаем, что
1111 = 11 · КЕ + 11 · КС + 11 · 11,
101 = КЕ + КС + 11,
КЕ + КС = 90,
то есть
10 · К + Е + 10 · К + С = 90,
20 · К + Е + С = 90.
Заметим, что Е + С — это число от 1 до 17, а значит, 20 · К —
число от 73 до 89, которое делится на 20. Тогда 20 · К = 80
и К = 4, а Е + С = 10.
Цифры Е и С — разные, ни одна из них не равна 4, а также ни одна из них не равна 9 (иначе бы при добавлении 1 к каждой цифре произошёл бы переход через десяток, который изменит ровно одну из цифр на месте букв У или К, и итог не будет решением ребуса). Тогда для равенства Е + С = 10 остаётся только два варианта: 2 + 8 и 3 + 7.
Тогда КЕ · КС = 42 · 48 = 2016 или КЕ · КС = 43 · 47 = 2021.
Но в слове УЧУЙ совпадают первая и третья буква, а значит, подходит только вариант УЧУЙ = 2021.
