Задача 66557
|
|
 |
Условие
Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?Решение
Рассмотрим два треугольника, образованных такими шестью палочками. Упорядочим длины сторон первого треугольника и обозначим их через $A > B > C$; длины сторон второго аналогично обозначим через $a > b > c$; также без ограничения общности считаем, что самая длинная палочка оказалась в первом треугольнике, то есть $A > a$. Из неравенства треугольника следует, что $A < B + C$ и $a < b + c$. Тогда возьмём в качестве сторон искомого треугольника $A$, $B + a$, $C + b + c$. Осталось проверить, что выполнены все три неравенства треугольника: \begin{align*} A &< B + C < (B + a) + (C + b + c); \\ B + a &< A + (b + c) < A + (C + b + c) ; \\ C + b + c &< B + a + a < B + A + a = A + (B + a) . \end{align*}Комментарий.
Существуют и другие способы получить требуемый треугольник.
Например, если упорядочить длины всех шести палочек в порядке убывания
$a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > a_5 > a_6$,
то можно составить треугольник со сторонами $a_1$, $a_2 + a_4$, $a_3 + a_5 + a_6$.
