Условие
Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство
$P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2$.
Решение
Пусть искомый многочлен $P(x)=ax^2+bx+c$. Тогда
\begin{align*}
P(x)+&P(x+1)+\dots+P(x+10)=\\
& =a(x^2+(x+1)^2+\dots+(x+10)^2)+{}\\
&\qquad + b(x+(x+1)+\dots+(x+10))+11c=\\
& =a(11x^2+(2+4+\dots + 20)x+(1+2^2+\dots+10^2))+{}\\
& + b(11x+1+2+\dots+10)+11c=\\
& =11ax^2+110ax+385a+11bx+55b+11c=\\
& =11ax^2 + (110a+11b)x+(385a+55b+11c).
\end{align*}
Получаем равенство квадратных трехчленов
$$
11ax^2 + (110a+11b)x+(385a+55b+11c)\quad \text{и}\quad x^2.
$$
Это равносильно равенству коэффициентов, то есть системе уравнений
\begin{cases}
11a=1,\\
110a+11b=0,\\
385a+55b+11c=0,\\
\end{cases}
которая имеет единственное решение $a=\frac{1}{11}$, $b=-\frac{10}{11}$, $c=\frac{15}{11}$.
Ответ
$\frac{x^2-10x + 15}{11}$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
83 |
|
Год |
2020 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
1 |
