Условие
Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Решение
Допустим, такой 19-угольник существует.
Рассмотрим градусные меры $19$ центральных углов, опирающихся на
стороны: $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{19}$. Угол между $(i+1)$-й
и $i$-й сторонами, измеренный в градусах, равен
$$
\frac{360-\alpha_{i}-\alpha_{i+1}}{2},
$$
а значит, это число целое для
любого $1\leqslant i\leqslant 19$ (для удобства записи считаем, что
$\alpha_{20}=\alpha_1$). Это означает, что $\alpha_i+\alpha_{i+1}$
— целое четное число.
Тогда
\begin{align*}
\alpha_{1}=&(\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_{19})-\\
&-(\alpha_2+\alpha_3)-(\alpha_4+\alpha_5)-\dots-(\alpha_{18}+\alpha_{19})=\\
=&360-(\alpha_2+\alpha_3)-(\alpha_4+\alpha_5)-\dots-(\alpha_{18}+\alpha_{19})
\end{align*}
тоже целое четное число. Аналогично можно
доказать, что каждое $\alpha_i$ — целое четное число.
Поскольку все стороны в 19-угольнике разные, то и центральные углы,
опирающиеся на них, должны быть разными, то есть
$\alpha_i\neq \alpha_j$.
Тогда
$360=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_{19}\geqslant
2+4+\dots+38=19\cdot(2+38)/2=380$. Противоречие.
Ответ
Нет.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
83 |
|
Год |
2020 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
3 |
