|
|
 |
Условие
На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.Решение
Поскольку $(x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2)$, то сумма квадратов всех чисел на доске увеличивается в два раза с каждым ходом. Из формулы \begin{align*} (n-3)^2 + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 +{}\\ +(n+3)^2 + (n+4)^2 = 8n^2 + 8n + 44 \end{align*} ясно, что сумма квадратов $8$ последовательных целых чисел даёт остаток $4$ при делении на $8$. Значит, сумма квадратов $1000$ последовательных целых чисел тоже даёт остаток $4$ при делении на $8$.
Таким образом, после первого хода сумма квадратов чисел на доске всегда будет делиться на $8$, и, следовательно, на доске никогда больше не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
Замечание. Число $1000$ в условии этой задачи можно заменить на произвольное чётное число. Доказательство основано на том, что сумма квадратов $2^k$ последовательных целых чисел даёт остаток $2^{k-1}$ при делении на $2^k$.
