Задача 66592
|
|
 |
Условие
Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем $60^\circ$.Решение
Первое решение. Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где $AD = AB+ CD = 2AB$. В треугольнике $ABD$ $$\sin \angle ADB = \frac{AH}{AD} \leq \frac{AB}{AD}=\frac{1}{2},$$ где $AD$ – высота из точки $A$. Тем самым угол $\angle ADB \leq 30 ^\circ$, аналогично $\angle CAD \leq 30 ^\circ$. В треугольнике $AOD$, где $O$ – точка пересечения диагоналей, $ \angle AOD \geq 120 ^\circ$, а значит, меньший угол не больше чем $60 ^\circ$, как смежный.
Второе решение. Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Ее боковая сторона вдвое меньше основания и, значит, не длиннее радиуса окружности. Поэтому боковые стороны стягивают дуги не больше чем $60^\circ$. А угол между диагоналями равен полусумме этих дуг.
