|
|
 |
Условие
Внутри четырехугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ – биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.Решение
Первое решение. Рассмотрим $\bigtriangleup PBC$ и внешнюю биссектрису $XP$ угла $BPC$, $\bigtriangleup APB$ и биссектрису $PY$ угла $APB$, $\bigtriangleup PCD$ и биссектрису $PZ$ угла $DPC$, $\bigtriangleup APD$ и внешнюю биссектрису $XP$ угла $APD$. Из свойства биссектрисы $$\frac{BX}{XC} =\frac{PB}{PC}, \quad \frac{AY}{YB} =\frac{PA}{PB}, \quad \frac{PD}{PC} =\frac{DZ}{ZC}, \quad \frac{PA}{PD} =\frac{AX}{XD}.$$
Пусть прямая $XY$ пересекает отрезок $AC$ в точке $R$ (см. рисунок). Используя теорему Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $XYR$, получаем: $$ 1 = \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot\frac{AY}{YB} = \frac{PB}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot\frac{PA}{PB} = \frac{PD}{PC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot\frac{PA}{PD} = \frac{DZ}{ZC}\cdot\frac{CR}{RA}\cdot\frac{AX}{XD}. $$ Применяя теорему Менелая для треугольника $ACD$, получаем, что точки $Z,R,X$ лежат на одной прямой. Остается вспомнить, что точка $Y$ тоже лежит на этой прямой.
Второе решение. Пусть прямая $XP$ пересекает $AB$ и $CD$ в точках $S$ и $T$ соответственно (см. рисунок). По условию $\angle DPT = \angle APS$, $\angle TPC = \angle SPB$, $\angle DPZ = \angle ZPC$, $\angle APY = \angle YPB$. Запишем равенства двойных отношений: $$[XD,XT,XZ,XC] = [D,T,Z,C] = [PD,PT,PZ,PC] = [PA,PS,PY,PB] =$$ $$ = [A,S,Y,B] = [XA,XS,XY,XB] = [XD,XT,XY,XC].$$ Значит, прямые $XZ$ и $XY$ совпадают, что и требовалось.
Замечания
О двойных отношениях – см. напримерА. А. Заславский. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2004;
Элементы математики в задачах. Через олимпиады и кружки – к профессии. М.: МЦНМО, 2018.
