Задача 66623
|
|
 |
Условие
Требуется разделить криволинейный треугольник на рисунке на 2 части одинаковой площади, проведя одну линию циркулем. Это можно сделать, выбрав в качестве центра одну из отмеченных точек и проводя дугу через другую отмеченную точку. Найдите способ это сделать и докажите, что он подходит.
Решение
Не умаляя общности, можно считать, что сторона квадрата равна 1. Заметим, что исходный криволинейный треугольник состоит из двух частей, из которых можно сложить квадрат со стороной 1. Поэтому нам достаточно доказать, что площадь любой из двух частей на рисунке слева равна $1/2$.
Самое сложное — посчитать площадь криволинейного треугольника $BLC$ (см. рисунок).
Из рисунка справа легко видеть, что площадь криволинейного треугольника $BLC$ равняется $\frac12\left(\frac{\pi\cdot (\sqrt{2})^2}{4}-1\right)=\frac{\pi}{4}-\frac12$. Но тогда площадь криволинейного треугольника $ALB$ (см. рисунок слева-сверху) равняется $\frac{\pi\cdot 1^2}{4}-\left(\frac{\pi}{4}-\frac12\right)=\frac12$, что и требовалось.
